Kocaeli Okuyor / Anadolu'nun Stratejik Kapısı

Matematik

07 Eki 2016 admin Köşe Yazarları 0

Ölüm korkusu (hayatta kalma güdüsü) ve türünü devam ettirme (üreme) güdüsü, tek hücreliden insana kadar bütün canlıların ortak özellikleridir. Doğum, ölüm gibi konular bu iki temel güdünün sonuçlarıdır. Kaldı ki bölünerek çoğalan canlılar teorik olarak ölümsüzdürler. Yaşlanmazlar da. Onların ölmesi için mutlaka bir dış etki gereklidir.

İlk insan veya insanların da diğer bütün canlılar gibi hayatta kalabilmek için beslenmeleri gerekmektedir. Yaz aylarında besinlerini meyvelerden karşıladıkları düşünüldüğünde hangi meyvenin, hangi şartlarda yenebileceğini deneme-yanılma yoluyla öğrenmeleri kaçınılmaz olacaktır. Yine yiyecekleri, yiyeceğin az olduğu kışa saklamak isteyecekleri kesindir. Buradan, ilk doğan bilimin Biyoloji olduğu söylenebilir.

Kış için saklanan meyveler, kışı çıkaracak kadar dayanmayınca başka besin kaynakları bulma gerekliliği kendini gösterir. Böylece avlanma zorunluluğu doğar. Ancak insanlar doğanın en güçsüz avcılarıdır. Ne keskin dişleri, ne ölümcül pençeleri, ne hızlı bacakları, ne de avı etkisizleştirecek zehirleri vardır. Eğer zekâları ve alet kullanmaya elverişli vücutları olmasaydı, acıması olmayan tabiatta varlıklarını devam ettiremezlerdi.

Bacaklarıyla yakalayamayacakları ve elleri veya dişleriyle öldüremeyecekleri avları, taşla vurarak etkisizleştirmeyi akıl ederler. Avın taşla vurulabilmesi için taş atımı uzaklığı içinde yer alması gerektiğinden “uzaklık” kavramı doğar. Fizik ikinci bilim olarak doğmuştur artık. İlk uzunluk ölçüsü de “taş atımı”dır.

Taş atımı uzaklığının bulunmasından sonra daha etkili vurma çalışmaları başlar. Bu da ava taş atımı uzaklığından daha yakın olmayı gerektirir. Ne kadar yakın? Mesela elin parmakları kadar adım atarak yaklaşmak belki yeterli olabilir. Böylece adsız sayma (parmaklarla) başlar. Daha sonra da bu sayılara (parmaklara) isim verilerek adlı sayıma geçilir. Bir sayı bilimi olan Matematik bulunmuştur.

Matematik gerçekten böyle mi bulunmuştur? Nasıl bulunduğu değil, bulunmuş olması önemlidir. İnsanların diğer canlılardan üç temel üstünlüğü vardır: Zekâsı, alet kullanmaya elverişli vücutları ve tecrübelerini yaşıtlarına ve sonraki nesillerine aktarabilme (öğretmenlik) kabiliyetleri. Matematiğin bulunmasıyla birlikte muhakeme yeteneği dördüncü temel üstünlük olarak ortaya çıkmıştır. İnsanlığın gelişmesini sağlayan da bu dördüncü özelliktir.

Sayılar tek başlarına anlamsızdırlar. Sayıların anlam kazanması için yanlarında mutlaka tanımlama ifadesi bulunmalıdır. 1 elma, 3 ekmek, 2 metre, 8 kuş gibi. Yani tabiatta sayılar yoktur. Dolayısı ile Matematik, tamamen insan zekâsının bir ürünüdür. Ancak evrenle öylesine bire bir örtüşür ki, Matematik kâinatın ta kendisidir demek yanlış olmaz. Eğer bir hayatın denklemi kurulabilinirse o hayat, doğumundan ölümüne kadar neleri yaşayıp, neleri yaşamayacağı daha doğmadan önce biliniyor demektir. Kısaca Matematik insanlık tarihinin en önemli buluşudur.

Bir sepette 2 elma, başka bir sepette de 3 elma olsun. Bu elmalar, bir sepette birleştirilirse sepette 5 elma olur. Bu “toplama” işleminin ta kendisidir. Bir sepette 1 elma, diğer sepette 2 armut olsun. Bunlar, aynı sepette birleştirilirse sepette yine 1 elma, 2 armut vardır. Toplama işlemi gerçekleşmemiştir. İlköğretimde öğretmenlerin elma ile armut toplanmaz demeleri bundandır. Elma da armut da birer meyvedirler. O zaman sepette 3 meyve vardır. Elma ve armut aynı zamanda birer nesnedirler. O zaman da sepette 3 nesne vardır denebilir. Böylece toplama işlemi gerçekleşmiş olur. Farklı cinsteki nesneleri toplayabilmek için bir üst kategoriye yükseltmek gerekir. Birinci örnekte sepette 5 elma vardı. Elma meyve olduğuna göre 5 meyve vardır da denebilir. Armut da meyvedir. O halde 5 meyvenin bulunduğu sepetten 2 armut alınırsa kaç meyve kalır? 5 meyve kalır. Çünkü sepette armut cinsinden meyve yoktur. Her ne kadar çıkarma işlemi, toplama işleminin tersidir dense de arada küçük bir fark vardır. Farklı cinsteki nesneler üst kategorilere yükseltilerek toplanabilir ama üst kategoriden nesne cinsi her zaman çıkarılamaz. Çıkarma işleminin yapılabilmesi için çıkarılacak olan nesnenin veya kategorinin toplamda var olması gerekir.

Çarpma için de üst üste toplama dense de tam olarak doğru değildir. Elma ile armut toplanmaz ama çarpılır. 2 elma ile 2 armut çarpılırsa 4 elmaarmut elde edilir. İşlem doğrudur. 4 elmaarmut / 1 armut = 4 elma işlemi sayısal olarak doğrudur. Ancak nasıl olmuştur da armutlar elmaya dönüşmüştür? Sayısal olarak doğru olan bu işlem, mantık olarak yanlıştır. 4 elmaarmut ifadesini bulmak için 2 armut ile çarpılmıştı. O halde 4 elmaarmut’u 2 armut’a (ya da 2 elma’ya) bölmek zorunluluğu vardır. 1 elma X 1 armut= 1 elmaarmut işlemi sayısal olarak doğrudur. 1 elmaarmut’taki 1, elma ise armut nerede, armut ise elma nerede? 1 elmaarmut ifadesi her ne kadar elma ve armut içermekte ise de ne elmadır, ne de armut. Bambaşka bir şeydir. Toplama işleminden farkı da budur. Ne toplanıyorsa o sonuç elde edilir. Çarpma ve bölmenin sonucu ise çarpmaya veya bölmeye karışanlardan farklıdır. Toplamdan var olmayan bir şey çıkarılamazken çarpım, çarpımda var olmayan bir şeye bölünebilir veya bölüm, bölümde var olmayan bir şeyle çarpılabilir. Elmalar toplanıyor veya çıkarılıyorsa sonuç elma, meyveler toplanıyor veya çıkarılıyorsa sonuç meyve, nesneler toplanıyor veya çıkarılıyorsa sonuç nesne, birimler toplanıyor veya çıkarılıyorsa sonuç o birimdir. Çarpma ve bölmede ise çarpma veya bölme işlemine karışanlara bağımlı fakat başka bir sonuç elde edilir. Örneğin kütle ile ivme çarpılırsa kuvvet sonucu elde edilir. Kuvvet, ivme ile kütleye bağımlı, ivmeden de kütleden de başka bir sonuçtur. Kuvvet içindeki ivmeyi elde edebilmek için kütleyi, kütleyi elde edebilmek için ivmeyi bilmek gerekliliği vardır. Hiçbiri bilinmiyorsa başka bir yerden bilinmenin sağlanması gerekir. Mesela yol denkleminden ivmeyi bulmak gibi.

Matematik’te 0 (sıfır) ve ∞ (sonsuz) kavramları vardır ki, bunları anlamadan kâinat anlaşılamaz.

0 (Sıfır) Kavramı

Kelime anlamı olarak yok, yokluk; boş, boşluk demektir. Matematik’te ise biraz farklı anlamı vardır. Başlangıçta elde 1 elma olsun. Bu elma yenilsin. Elde elmanın çekirdekleri ve bu çekirdekleri muhafaza eden kısmı kalır. Elde kaç elma vardır? 0 elma vardır. Her ne kadar elmanın bir kısmı mevcutsa da bunların milyonlarcası bir araya getirilse 1 elma etmez. İşte matematikteki 0 da tam budur. 0 bir kabuldür. İhmal edilebilen bir değerdir. Pazarda 1 kg. elma tarttırılsın. Terazinin elma tarafı biraz ağır bassa bile pazarcı, birkaç gram fazlalığı 0 kabul ederek 1 kg. elma ücreti alacaktır. Pazarcı için önemsiz olan bu birkaç gram fazlalık, kuyumcu için çok önemlidir. Tanımlanan bir birimin ihmal edilebilen bir değeri, kabul edilen 0’dır. Sayılarda da aynı hüküm geçerlidir. Tanımlanan en küçük sayının altında olup da ihmal edilebilen kısmı, kabul edilen 0’dır. Özet olarak sıfırın bir değeri vardır ama hangi sayı ile çarpılırsa çarpılsın, tanımlanan en küçük sayıya ulaşılamaz. Ancak sonsuz büyüklükte bir değer ile çarpılırsa bir sayı oluşturur. Bu sayı da 0’ın taşıdığı gizli değere ve sonsuzun barındırdığı bilinmeyen değere göre -∞ ile +∞ arasında bir sayı olur. Bu yüzden 0X∞=belirsiz ifadesi kullanılır.

Herhangi bir sayının kendisine bölümü (a/a=1) 1’e eşittir. Yukarıda anlatılan nedenlerden dolayı 0/0, bir sayının kendisine bölümü değildir. 0, nadir hallerde hiç yok anlamı taşır. İçinde gizlediği değer, her 0 için farklı olduğundan 0/0 farklı değerler alır. Bu da -∞ ile +∞ arasında bir sayı olur. 0 kavramı, tanımlanan sayıların en küçüğünün altında kalan anlamını taşır. 0’ın da bir değeri vardır. Bu yüzden de 0/0=1 veya 0/0=0 etmez. 0’ların içlerinde barındırdıkları gizli değere göre bölüm bir değer alır anlamını taşıyan 0/0=belirsiz ifadesi kullanılır.

∞ (Sonsuz) Kavramı

Günümüz insanı için dünya, 6666 km. yarıçapında bir küredir. Peki, bir karınca için dünyanın büyüklüğü nedir? Sonsuzdur. Çünkü kuzey kutbundaki bir karıncanın güney kutbuna yürüyerek gitmesi, o karıncanın hayalinin üzerindedir. Hâlbuki sonsuz’un kelime manası sınırları olmayan demektir. Sınırları olan dünyanın karınca için sonsuz olarak nitelendirilmesi, dünya sınırlarının karınca için bilinmiyor, tahmin edilemiyor olmasındandır.

0, tanımlanan sayıların en küçüğünün altında kalanı temsil ettiği gibi ∞ da tanımlanan sayıların en büyüğünün üstünü temsil eder. Nasıl iki 0 birbirine eşit olmayabiliyorsa iki ∞ da birbirine eşit olmayabilir. ∞’ların birbirinden ne kadar büyük veya küçük olduğu da bilinmediğinden ∞/∞=belirsiz denir. 0 çok küçük bir değer iken ∞ da çok büyük bir değerdir. Birinin ne kadar küçük, diğerinin ne kadar büyük olduğu bilinmediğinden 0X∞=belirsizdir. Aynı bilinmezliklerden dolayı 0/sayı=0, 0Xsayı=0, sayı/0=∞; sayı/∞=0, sayıX∞=∞, ∞/sayı=∞ eşitlikleri yazılır.

Sonsuzluk denince akla ilk önce evren gelir. Gerçekte ise milimetrenin içinde de sonsuzluk bulunabilir. 1 mm, daha küçük bölümlere ayrılmak istenirse, sonsuz sayıda parçalara ayrılabilinir. Bölen sayı büyüdükçe bölüm 0’a yaklaşır. ½, 1/3, ¼, ….. 1/n, …. n=∞ olduğu zaman bölüm 0 olur (sayı/∞=0).